{\displaystyle s(t)} ] Des copies de ce spectre autour d'une fréquence multiple de la fréquence d'échantillonnage fournissent tous la même information. ) f Nous déduisons de cette observation qu'il faut que le signal d'origine ne puisse contenir qu'une seule des sinusoïdes de fréquence Si le spectre d'un signal à haute fréquence est inclus dans un de ces intervalles, l'échantillonnage à la fréquence d'échantillonnage de la bande de base suffit pour le décrire parfaitement. Montrons que deux sinusoïdes dont la fréquence a le même écart à un multiple quelconque de la fréquence d'échantillonnage peuvent produire les mêmes échantillons. s {\displaystyle s(t)} n Ces attributions font l'objet de débats, le problème ayant occupé les mathématiciens, en termes théoriques, depuis le XIXe siècle, et l'industrie des télécommunications depuis le début du XXe siècle. Dans tous les autres cas, une même suite d'échantillons peut renvoyer à plusieurs signaux différents. s , c'est-à-dire pour de Le spectre précédent correspond au signal périodique continusur une durée Tp.. Après échantillonnage de ce signal périodique limité à l’intervalle [0,TP[, le spectre devient aussi périodique de période fe. = Périodicité du spectre du signal échantillonné. ( En fournissant une extension à la notion de fonction, ainsi qu'à la transformation de Fourier par voie de conséquence, elle donne une structure mathématique idéale à l'échantillonnage. 2 {\displaystyle \operatorname {\hat {s}} (\omega )} 2 Traitement de signal Cette partie du cours aborde les notions basiques sur: Ce qu’est un signal. x r2. ⁡ Il faut pour cela que deux signaux différents ne fournissent pas les mêmes échantillons. \(TF(x_e)=X_e(\nu)=\frac{1}{T_e}X(\nu) * \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\nu-\frac{k}{T_e})\) où * est le symbole de convolution et en se rappelan que : Le spectre du signal échantillonné est donc périodique de période 1/Te. x {\displaystyle \omega _{\mathrm {max} }=2\pi f_{\mathrm {max} }} x ) \(\sqcap(\frac{\nu}{F_e}).X_e(\nu)=X(\nu)\). ) ⁡ n Reconstitution d'un signal à partir des échantillons mesurés, Reconstitution d'un signal par interpolation linéaire des échantillons, \(TF(x_e)=X_e(\nu)=\frac{1}{T_e}X(\nu) * \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\nu-\frac{k}{T_e})\). ^ Si cette fréquence maximale est supérieure à , il existe alors au moins une sinusoïde de fréquence plus basse qui présente les mêmes échantillons ː on parle de repliement du spectre. À partir des années 1960, le théorème d'échantillonnage est souvent appelé théorème de Shannon, du nom de l'ingénieur qui en a publié la démonstration en posant les bases de la théorie de l'information chez Bell Laboratories en 1949. t {\displaystyle \pi } . ( est la convolution de la transformée de Fourier de ) f 2 Ce spectre est déterminé à partir de la transformée de Fourier du signal échantillonné selon la formule … f {\displaystyle {T_{e}}} La transformée de Fourier ω chantillonnage tape n cessaire quand le signal sous-jacent est analogique Dans le cas 1-D , lÕ chantillonnage est bien e xpliqu , bien conn u e t bien utilis La g n r alisation a v eugle du 1-D au M-D est dangereuse : Les h ypoth f Mais dans le cas d'une fonction périodique, donc sans limite de durée, la transformation de Fourier aboutit à un spectre de raies, correspondant aux coefficients de la série de Fourier. Cependant, montrer qu'un échantillonnage à une fréquence de deux fois ou moins la fréquence maximale d'un signal ne peut pas le représenter ne prouve pas qu'un échantillonnage à une fréquence supérieure puisse le faire. Le théorème d'échantillonnage, dit aussi théorème de Shannon ou théorème de Nyquist-Shannon, établit les conditions qui permettent l'échantillonnage d'un signal de largeur spectrale et d'amplitude limitées. {\displaystyle f_{e}/2} L'expression mathématique du calcul de x à partir de xe est alors donnée par : \(\sqcap(\frac{\nu}{F_e}).X_e(\nu)=X(\nu)\) pour retrouver le spectre de x en multipliant le spectre de de xe. ⁡ La transformée de Fourier 2 du signal d'origine s(t), on obtient cette dernière transformée en multipliant  ; {\displaystyle {T_{e}}} ^ x Le signal est échantillonné à une fréquence légèrement supérieure à la fréquence de NYQUIST. sur l'intervalle n {\displaystyle \operatorname {\hat {s}} } s π = 3 . Remarque: Pour un signal entre a et b, on a, en posant X t =∑ k=−∞ ∞ ckexp 2iπk t−m b−a avec ck= 1 b−a ∫ a b X t exp −2iπk t−c b−a dt c= a b 2 Exercice: Trouver la formule équivalente pour la définition en ] e Pour établir le reconstruction du signal d'origine à temps continu, il faut d'abord réécrire le signal échantillonné sous forme temporelle : L'idée consiste à partir du spectre périodisé sans recouvrement (sans quoi il y a distorsion, la reconstruction n'est pas possible) c'est-à … Nous n'obtenons pas la vraie valeur car le spectre du signal réel n'est pas nul à l'infini. a) Soit un signal discret x(n) dont le spectre d’amplitude est représenté en fréquences normali- sées sur la figure 2. x Universit e de Moncton Hiver 2013 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 5 Hiver 2013 1 / 58 Introduction Contenu Contenu Signaux discrets D s L’analyse fréquentielle de son contenu. Si cette fréquence est supérieure au double de la fréquence maximale du signal, les translatés ne se chevauchent pas et on peut reconstituer de façon exacte la transformée de Fourier du signal et donc le signal lui-même. x s Très concise, elle n'évoque certains aspects qu'en quelques mots ; son objectif principal était de donner une définition rigoureuse de l'information, à partir de l'intervalle de fréquences et du bruit. de signal aléatoire est appelé bruit blanc (au sens strict). e n n T max d'énergie / , correspondant à une pulsation par un peigne de Dirac , somme d'impulsions de Dirac La transformée de Fourier inverse donne la valeur de Un raisonnement simple reposant sur les propriétés de la transformée de Fourier et de la distribution de Dirac montre que la transformée d'un signal échantillonné est périodique, et identique à la transformée de Fourier du signal lui-même dans la bande de fréquences d'origine. T ». J'ai reçu un TP de Matlab à faire et je bloque sur un point : On me demande de calculer la puissance d'un signal échantillonné non-périodique. où t en y remplaçant cette fonction par son développement en série de Fourier, et s prélevés à ^ Vous pouvez faire varier la fréquence d'échantillonnage. Tous ces noms peuvent se retrouver dans des dénominations du théorème. Pour arriver à cette conclusion, il faut mettre en œuvre les concepts et les théorèmes de l'analyse spectrale. ^ La théorie des distributions, publiée en 1951, sert aujourd'hui de base aux démonstrations basées sur la distribution de Dirac. f est donnée par : La valeur des échantillons 1 Comment retrouver le signal continu (la courbe bleue) à partir des échantillons (les ronds barrés sur la courbe verte)? π [ 2 m f ^ Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. x ) ) Le développement du traitement du signal dans les années suivant la publication de Shannon[9] va donner lieu à de nombreux raffinements de la théorie mathématique de l'échantillonnage. x x Puisque la transformée de Fourier d'une fonction la définit entièrement, déterminer {\displaystyle s(t)} Il montre aussi que d'autres types d'échantillonnage, par exemple avec des échantillons groupés par deux, ou un échantillonnage de la valeur et de sa dérivée un point sur deux, peuvent décrire le signal. Dans le cas présent, elle vaut 1 pour l'échantillon − Ce point est ( Reconstitution du signal : formule de Shannon Soit une liste d'échantillons e n = s ( n 2 f max ) = 2 f max c − n = ω max π c − n {\displaystyle e_{n}=s\left({\frac {n}{2f_{\max }}}\right)=2f_{\max }c_{-n}={\frac {\omega _{\max }}{\pi }}c_{-n}} . {\displaystyle \operatorname {\hat {s}} (\omega )} [ ) par la valeur du coefficient déjà calculée, on obtient ː. {\displaystyle \left[-f_{\mathrm {max} };f_{\mathrm {max} }\right]} {\displaystyle s(x)} ( t ind´ep. 2 - Déterminer le produit de convolution y(t) = x(t) * h(t). Signaux déterministes discrets échantillonnage Soit Te la période d’échantillonnage. f En ne conservant qu’un échantillon sur deux de xe, perd-on de l’information? ω . / / L'expérience détermine quelle est la plage de fréquence qui intéresse. {\displaystyle n} Considérons la distribution obtenue en multipliant le signal Le signal reconstruit et continu se confondent à condition que le théorème de Shannon soit respecté. échantillonné, il n'est pas possible de récupérer le spectre X( f ) par un filtrage approprié. ∞ Le théorème de Shannon doit être respecté ! ω Le théorème d'échantillonnage donne la réponse mathématique à la question « combien d'échantillons faut-il pour représenter exactement un signal ? Reconstruction d’un signal 3. Dans la plupart des applications, la fréquence du signal d'origine est comprise entre 0 et une fréquence maximale. ( », « Le théorème a été donné auparavant sous une autre forme par des mathématiciens Â», Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, « mais n'a pas été explicitement publié dans la littérature sur la théorie de la communication, malgré Â», Journal of the Institute of Electrical Engineering, Pour toute la démonstration, on adopte la notation exponentielle issue de la, Modern Sampling Theory: Mathematics and Applications, A geometrical approach to sampling signals with finite rate of innovation, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Théorème_d%27échantillonnage&oldid=173417516, Portail:Télécommunications/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ] Leurs auteurs ont recouru aux ouvrages classiques de mathématiques, et ont rattaché le théorème à des travaux plus anciens, notamment ceux de Cauchy[5], attribution contestée[6]. π s Des sinusoïdes dont les fréquences ont le même écart à un multiple quelconque de la fréquence d'échantillonnage peuvent produire les mêmes échantillons. = {\displaystyle f} e t sin ) Nous verrons plus loin que la reconstruction se fait en pratique dans le domaine temporel et non pas de cette manière. ( δ f ; e ) ( − , et 0 pour tous les autres échantillons, tandis que ses autres valeurs participent à l'interpolation entre les échantillons. s Signal discret, signal bloqué, signal échantillonné Correction de TD7: Transformée en z en temps discret ....Etudier l' asservissement de la sortie du processus discret d'entrée d'équation au moyen d' une loi ... part of the document x {\displaystyle \Pi _{f_{e}/2}(f)} Les conséquences de son enregistrement dans un format numérique. ⁡ Comme indiqué précédemment, la transformée de Fourier d'un signal échantillonné est toujours une fonction périodique de la fréquence sur l'intervalle {\displaystyle s^{*}(t)} ± f Donc à partir des valeurs de xe on reconstitue complétement x! ω / Vous pouvez écouter le signal original et le signal reconstruit. ) x \(x_e(t)=x(t)\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_e)\). 129 5.4.1 TFD pour le calcul de points du spectre de signaux discrets avec un nombre fini d’échantillons En outre, si un signal est échantillonné à une fréquence inférieure à sa fréquence de Nyquist, on parle de sous-échantillonnage . / multiple de la demi-période correspondant à Spectre Soit s un signal, échantillonné à la période Te. Dans la partie précédente nous avons vu comment retrouver le spectre du signal continu à partir du spectre du signal échantillonné. Ce phénomène est appelé « repliement de spectre Â». s Ces deux conditions expriment le théorème de Shannon. {\displaystyle x} / 0 f ⁡ Au-delà de s s Le signal échantillonné x*(t) a pour expression analytique: x*(t) = Σn X(nTe) δ (t-nTe) on remarque que le signal échantillonné x*(t) est obtenu mathématiquement par multiplication du signal ∩ continu x(t) par la suite périodique de Δ